Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 100, 101 SGK Giải tích 12 – Giaibaitap.me

Bài 1 trang 100-SGK Giải tích 12

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) (e^{-x}) và (- e^{-x}); b) (sin2x) và (sin^2x)

c) ((1-frac{2}{x})^{2}e^{x}) và ((1-frac{4}{x})e^{x})

Giải

a) (e^{-x}) và (- e^{-x}) là nguyên hàm của nhau, vì:

(({e^{ – x}})’= {e^{ – x}}left( { – 1} right)= – {e^{ – x}}) và (( – {e^{ – x}})’ = left( { – 1} right)( – {e^{ – x}}) = {e^{ – x}})

b) (sin^2x) là nguyên hàm của (sin2x), vì:

(left( {si{n^2}x} right)'{rm{ }} = {rm{ }}2sinx.left( {sinx} right)’ = 2sinxcosx = sin2x)

c) ((1-frac{4}{x})e^{x}) là một nguyên hàm của ((1-frac{2}{x})^{2}e^{x}) vì:

(({(1-frac{4}{x})e^{x})}’) = (frac{4}{x^{2}}e^{x}+(1-frac{4}{x})e^{x}) = (left (1-frac{4}{x}+frac{4}{x^{2}} right )e^{x}) = ((1-frac{2}{x})^{2}e^{x})

Bài 2 trang 100-101-SGK Giải tích 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) (f(x) = frac{x+sqrt{x}+1}{^{sqrt[3]{x}}}) ; b) ( f(x)=frac{2^{x}-1}{e^{x}})

c) (f(x) = frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}); d) (f(x) = sin5x.cos3x)

e) (f(x) = tan^2x) g) (f(x) = e^{3-2x})

h) (f(x) =frac{1}{(1+x)(1-2x)}) ;

Giải

a) Điều kiện (x>0). Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

Xem thêm: Giải Bài Tập Vật Lí 9 – Bài 19: Sử dụng an toàn và tiết kiệm điện

(f(x) = frac{x+x^{frac{1}{2}}+1}{x^{frac{1}{3}}}) = (x^{1-frac{1}{3}}+ x^{frac{1}{2}-frac{1}{3}}+ x^{-frac{1}{3}}) = (x^{frac{2}{3}}+ x^{frac{1}{6}} + x^{-frac{1}{3}})

(∫f(x)dx = ∫(x^{frac{2}{3}}+ x^{frac{1}{6}} + x^{-frac{1}{3}})dx) = (frac{3}{5}x^{frac{5}{3}}+ frac{6}{7}x^{frac{7}{6}}+frac{3}{2}x^{frac{2}{3}}) +C

b) Ta có (f(x) = frac{2^{x}-1}{e^{x}}) = ((frac{2}{e})^{x})(-e^{-x})

; do đó nguyên hàm của (f(x)) là:

(F(x)= frac{(frac{2}{e})^{x}}{lnfrac{2}{e}} + e^{-x}+C) =(frac{2^{x}}{e^{x}(ln2 -1)}+frac{1}{e^{x}}+C)= (frac{2^{x}+ln2-1}{e^{x}(ln2-1)} + C)

c) Ta có (f(x) = frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}=frac{4}{sin^{2}2x})

hoặc (f(x) =frac{1}{cos^{2}x.sin^{2}x}=frac{1}{cos^{2}x}+frac{1}{sin^{2}x})

Do đó nguyên hàm của (f(x)) là (F(x)= -2cot2x + C)

d) Áp dụng công thức biến tích thành tổng:

(f(x) =sin5xcos3x = frac{1}{2}(sin8x +sin2x)).

Vậy nguyên hàm của hàm số (f(x)) là

(F(x)) = (-frac{1}{4})((frac{1}{4}cos8x + cos2x) +C)

e) Ta có (tan^{2}x = frac{1}{cos^{2}x}-1)

vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là (F(x) = tanx – x + C)

g) Ta có (int {{e^{3 – 2x}}} dx = – {1 over 2}int {{e^{3 – 2x}}} d(3 – 2x) = – {1 over 2}{e^{3 – 2x}} + C)

h) Ta có :(int frac{dx}{(1+x)(1-2x))}=frac{1}{3}int (frac{1}{1+x}+frac{2}{1-2x})dx)

= (frac{1}{3}(lnleft | 1+x right |)-lnleft | 1-2x right |)+C)

= (frac{1}{3}lnleft | frac{1+x}{1-2x} right | +C).

Bài 3 Trang 101- SGK Giải tích 12

Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

Xem thêm: Công thức cách tính đường chéo trong hình thoi – kèm lời giải

a) (∫{(1-x)}^9dx) (đặt (u =1-x) ) ;

b) (∫x{(1 + {x^2})^{{3 over 2}}}dx) (đặt (u = 1 + x^2) )

c) (∫cos^3xsinxdx) (đặt (t = cosx))

d) (int frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}) (đặt (u= e^x+1))

Giải

a) Cách 1: Đặt (u = 1 – x Rightarrow du= -dx). Khi đó ta được (-int u^{9}du = -frac{1}{10}u^{10}+C)

Suy ra (int(1-x)^{9}dx=-frac{(1-x)^{10}}{10}+C)

Cách 2: (smallint {left( {1 – x} right)^9}dx = – smallint {left( {1 – x} right)^{9}}dleft( {1 – x} right)=) (-frac{(1-x)^{10}}{10} +C)

b) Cách 1 : Tương tự cách 1 phần a.

Cách 2: (int x(1+x^{2})^{frac{3}{2}}dx) = (frac{1}{2}int (1+x^{2})^{frac{3}{2}}d(1+x^2{}))

= (frac{1}{2}.frac{2}{5}(1+x^{2})^{frac{5}{2}}+C) = (frac{1}{5}.(1+x^{2})^{frac{5}{2}}+C)

c)(∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx))

(= -frac{1}{4}.cos^{4}x + C)

d) (int frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}) = (int frac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx)= (int frac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx)

=(frac{-1}{e^{x}+1} + C).

Bài 4 trang 101- SGK Toán Giải tích 12

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) (∫xln(1+x)dx); b) (int {({x^2} + 2x + 1){e^x}dx})

c) (∫xsin(2x+1)dx); d) (int (1-x)cosxdx)

Giải

Xem thêm: Phân tích đoạn thơ trong bài Sang thu Bỗng nhận ra hương ổi… Vắt

a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:

Đặt (u= ln(1+x))

(dv= xdx)

(Rightarrow du=frac{1}{1+x}dx) , (v=frac{x^{2}-1}{2})

Ta có: (∫xln(1+x)dx = frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x))(-frac{1}{2}int (x-1)dx))

(=frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)-frac{1}{4}x^{2}+frac{x}{2}+C)

b) Tìm nguyên hàm t4ừng phần hai lần:

Đặt (u = ({x^2} + 2x – 1)) và (dv=e^xdx)

Suy ra (du = (2x+2)dx), (v=e^x)

. Khi đó:

(int {({x^2} + 2x{rm{ }} – {rm{ }}1){e^x}dx} ) = (({x^2} + 2x{rm{ }} – {rm{ }}1){e^x}) – (int {(2x + 2){e^x}dx} )

Đặt : (u=2x+2); (dv={e^x}dx)

(Rightarrow du = 2dx ;v={e^x})

Khi đó: (int {(2x + 2){e^x}dx} )(= {(2x + 2){e^x}})(- 2int {{e^x}dx} )(= {rm{ }}{e^x}left( {2x + 2} right){rm{ }}-{rm{ }}2{e^x} + C)

Vậy: (int {({x^2} + 2x{rm{ }} – {rm{ }}1){e^x}dx} ={e^x}({x^2} – 1){rm{ }} + {rm{ }}C)

c) Đặt (u=x); (dv = sin(2x+1)dx)

(eqalign{ & int {xsin left( {2x + 1} right) = – {1 over 2}xcos left( {2x + 1} right)} + {1 over 2}int {cos left( {2x + 1} right)dx} cr & ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = – {1 over 2}xcos left( {2x + 1} right) + {1 over 4}sin left( {2x + 1} right) + C cr} )

d) Đặt (u = 1 – x) ;(dv = cosxdx)

(eqalign{ & int {left( {1 – x} right)cos xdx = left( {1 – x} right)sin x + int {sin xdx} } cr & ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = left( {1 – x} right)sin x – cos x + C cr} )

Giaibaitap.me