Bài tập Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án

Bài tập Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án

Một số bài tập trắc nghiệm đạo hàm hàm mũ và logarit có Lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số $y={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}$

A. $y’={{2}^{2{{x}^{2}}+x}}.$ B. $y’={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}ln 2.$

C. $y’=left( 4x+1 right){{.2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}ln 2.$ D. $y’=left( 2x+1 right){{.2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}ln 2.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}Rightarrow y’={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}.ln 2.{{left( 2{{x}^{2}}+x+1 right)}^{prime }}=left( 4x+1 right){{.2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}ln 2.$ Chọn C.

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=x.{{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$

A. $y’=left( 2x+1 right){{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$ B. $y’=left( 2{{x}^{2}}+x right){{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$

C. $y’=left( 2{{x}^{2}}+x+1 right){{e}^{{{x}^{2+x}}}}.$ D. $y’=left( 2{{x}^{2}}+x+2 right){{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y’={{e}^{{{x}^{2}}+x}}+x{{left( {{e}^{{{x}^{2}}+x}} right)}^{prime }}={{e}^{{{x}^{2}}+x}}+x.{{e}^{{{x}^{2}}+x}}.left( 2x+1 right)={{e}^{{{x}^{2}}+x}}left( 2{{x}^{2}}+x+1 right).$ Chọn C.

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số $y=frac{x+1}{{{4}^{x}}}$

A. $y’=frac{1-2left( x+1 right)ln 2}{{{2}^{2x}}}$ B. $y’=frac{1+2left( x+1 right)ln 2}{{{2}^{2x}}}$

C. $y’=frac{1-2left( x+1 right)ln 2}{{{2}^{{{x}^{2}}}}}$ D. $y’=frac{1+2left( x+1 right)ln 2}{{{2}^{{{x}^{2}}}}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y’=frac{{{4}^{x}}-left( {{4}^{x}} right)’.left( x+1 right)}{{{left( {{4}^{x}} right)}^{2}}}=frac{{{4}^{x}}-{{4}^{x}}ln 4.left( x+1 right)}{{{4}^{2x}}}=frac{{{4}^{x}}left[ 1-2left( x+1 right)ln 2 right]}{{{4}^{2x}}}=frac{1-2left( x+1 right)ln 2}{{{4}^{x}}}$

Hay $y’=frac{1-2left( x+1 right)ln 2}{{{2}^{2x}}}.$ Chọn A.

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số $y={{log }_{2}}left( {{x}^{2}}+x+1 right)$

A. $y’=frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x+1}.$ B. $y’=frac{2x+1}{{{log }_{2}}left( {{x}^{2}}+x+2 right).ln 2}.$

C. $y’=frac{left( 2x+1 right)ln 2}{{{x}^{2}}+x+1}.$ D. $y’=frac{2x+1}{left( {{x}^{2}}+x+1 right)ln 2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y’=frac{{{left( {{x}^{2}}+x+1 right)}^{prime }}}{left( {{x}^{2}}+x+1 right)ln 2}=frac{2x+1}{left( {{x}^{2}}+x+1 right)ln 2}.$ Chọn D.

Xem thêm: Đề thi Giữa kì 1 Sinh học lớp 8 có đáp án năm 2022 – 2023 (10 đề)

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số $y=sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}$

A. $y’=frac{ax+b{{x}^{3}}}{sqrt[4]{{{left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 right)}^{3}}}}.$ B. $y’=frac{ax+b{{x}^{3}}}{sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}}.$

C. $y’=frac{4ax+4b{{x}^{3}}}{sqrt[4]{{{left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 right)}^{3}}}}.$ D. $y’=frac{4ax+4b{{x}^{3}}}{sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y=sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}={{left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 right)}^{frac{1}{4}}}Rightarrow y’=frac{1}{4}{{left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 right)}^{frac{-3}{4}}}.left( 4ax+4b{{x}^{3}} right)$

$=frac{ax+b{{x}^{3}}}{sqrt[4]{{{left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 right)}^{3}}}}.$ Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hàm số $fleft( x right)={{log }_{2}}left( {{x}^{2}}-x right).$ Tính $f’left( 2 right)$

A. $f’left( 2 right)=frac{3}{2}.$ B. $f’left( 2 right)=frac{3}{2}{{log }_{2}}e.$ C.$f’left( 2 right)=frac{3ln 2}{2}.$ D. $f’left( 2 right)=frac{2}{3ln 2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $f’left( x right)=frac{2x-1}{left( {{x}^{2}}-x right)ln 2}Rightarrow f’left( 2 right)=frac{3}{2ln 2}=frac{3}{2}{{log }_{2}}e.$ Chọn B.

Ví dụ 7: Giá trị của tham số $m$ để $y’left( e right)=2m+1$ với $y=ln left( 2x+1 right)$ là:

A. $frac{1+2e}{4e-2}.$ B. $frac{1+2e}{4e+2}.$ C. $frac{1-2e}{4e+2}.$ D. $frac{1-2e}{4e-2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y’=frac{2}{2x+1}Rightarrow y’left( e right)=frac{2}{2e+1}=2m+1Leftrightarrow frac{2}{2e+1}-1=2mLeftrightarrow frac{1-2e}{2e+1}=2mLeftrightarrow m=frac{1-2e}{2+4e}.$

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho hàm số $fleft( x right)=ln left( 2{{e}^{x}}+m right)$ thỏa mãn $f’left( -ln 2 right)=frac{3}{2}.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $min left( 1;3 right).$ B. $min left( -5;-2 right).$ C. $min left( 1;+infty right).$ D. $min left( -1;0 right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f’left( x right)=frac{2{{e}^{x}}}{2{{e}^{x}}+m},$ lại có ${{e}^{-ln 2}}={{2}^{-ln e}}=frac{1}{2}$

Do đó $f’left( -ln 2 right)=frac{3}{2}Leftrightarrow frac{1}{1+m}=frac{3}{2}Leftrightarrow m=-frac{1}{3}.$ Chọn D.

Ví dụ 9: Cho hàm số $y={{log }_{3}}left( {{3}^{x}}+x right),$ biết $y’left( 1 right)=frac{a}{4}+frac{1}{bln 3}$ với $a,bin mathbb{Z}.$ Giá trị của $a+b$ là:

Xem thêm: Vẽ Tranh Chibi siêu dễ thương – Đô Trưởng Music & Arts

A. $a+b=2.$ B. $a+b=7.$ C. $a+b=4.$ D. $a+b=5.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y’=frac{{{left( {{3}^{x}}+x right)}^{prime }}}{left( {{3}^{x}}+x right)ln 3}=frac{{{3}^{x}}ln 3+1}{left( {{3}^{x}}+x right)ln 3}$

Suy ra $y’left( 1 right)=frac{3ln 3+1}{4ln 3}=frac{3}{4}+frac{1}{4ln 3}Rightarrow left{ begin{align} & a=3 \ & b=4 \ end{align} right.Rightarrow a+b=7.$ Chọn B.

Ví dụ 10: Cho hàm số $fleft( x right)=frac{ln left( {{x}^{2}}+1 right)}{x}.$ Biết rằng $f’left( 1 right)=aln 2+b$ với $a,bin mathbb{Z}.$ Tính $a-b.$

A. $a-b=1.$ B. $a-b=-1.$ C. $a-b=2.$ D. $a-b=-2.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f’left( x right)=frac{{{left[ ln left( {{x}^{2}}+1 right) right]}^{prime }}.x-ln left( {{x}^{2}}+1 right)}{{{x}^{2}}}=frac{frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}-ln left( {{x}^{2}}+1 right)}{{{x}^{2}}}$

Do đó $f’left( 1 right)=1-ln 2Rightarrow left{ begin{align} & a=-1 \ & b=1 \ end{align} right.Rightarrow a-b=-2.$ Chọn D.

Ví dụ 11: Cho hàm số $y=frac{ln x}{x},$ mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $2y’+xy”=-frac{1}{{{x}^{2}}}.$ B. $y’+xy”=frac{1}{{{x}^{2}}}.$ C. $y’+xy”=-frac{1}{{{x}^{2}}}.$ D. $2y’+xy”=frac{1}{{{x}^{2}}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $xy=ln xRightarrow left( xy right)’=left( ln x right)’Rightarrow x’y+y’x=frac{1}{x}Leftrightarrow y+xy’=frac{1}{x}$

Tiếp tục đạo hàm 2 vế ta có: $y’+y’+xy”=-frac{1}{{{x}^{2}}}Leftrightarrow 2y’+xy”=-frac{1}{{{x}^{2}}}.$ Chọn A.

Ví dụ 12: Tính đạo hàm của hàm số $y={{log }_{2}}left( sqrt[3]{3x+1} right)$ trên tập xác định của nó

A. $frac{1}{left( 3x+1 right)ln 2}.$ B. $frac{1}{sqrt[3]{3x+1}ln 2}.$ C. $frac{ln 2}{3x+1}.$ D. $frac{1}{3left( 3x+1 right)ln 2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y={{log }_{2}}left( sqrt[3]{3x+1} right)=frac{1}{3}{{log }_{2}}left( 3x+1 right)Rightarrow y’=frac{1}{3}.frac{3}{left( 3x+1 right)ln 2}=frac{1}{left( 3x+1 right)ln 2}.$ Chọn A.

Ví dụ 13: Đạo hàm của hàm số $y=sqrt[7]{cos x}$ là:

A. $frac{-sin x}{7.sqrt[7]{{{cos }^{8}}x}}.$ B. $frac{sin x}{7.sqrt[7]{{{cos }^{6}}x}}.$ C. $frac{1}{7.sqrt[7]{{{cos }^{6}}x}}.$ D. $frac{-sin x}{7.sqrt[7]{{{cos }^{6}}x}}.$

Lời giải chi tiết:

Xem thêm: K2Cr2O7 có những ứng dụng quan trọng nào? Mua ở đâu uy tín nhất?

Ta có $y=sqrt[7]{cos x}={{left( cos x right)}^{frac{1}{7}}}Rightarrow y’=frac{1}{7}{{left( cos x right)}^{frac{-6}{7}}}.left( cos x right)’=frac{-sin x}{7.sqrt[7]{{{cos }^{6}}x}}.$ Chọn D.

Ví dụ 14: Tính đạo hàm của hàm số $y=ln frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}$

A. $y’=frac{4x}{{{x}^{4}}-1}.$ B. $y’=frac{-4x}{{{x}^{4}}-1}.$ C. $y’=frac{-4{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}-1}.$ D. [y’=frac{4{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}-1}.]

Lời giải chi tiết:

Ta có $y=ln frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}=ln left( {{x}^{2}}+1 right)-ln left( {{x}^{2}}-1 right)Rightarrow y’=frac{2x}{{{x}^{2}}+1}-frac{2x}{{{x}^{2}}-1}=frac{2xleft( {{x}^{2}}-1-{{x}^{2}}-1 right)}{left( {{x}^{2}}+1 right)left( {{x}^{2}}-1 right)}=frac{-4x}{{{x}^{4}}-1}.$

Chọn B.

Ví dụ 15: Đạo hàm của hàm số $fleft( x right)={{3}^{x}}.{{log }_{3}}x$ là:

A. $f’left( x right)={{3}^{x}}left( ln x+frac{1}{xln 3} right).$ B. $f’left( x right)={{3}^{x}}left( ln x+frac{1}{ln 3} right).$

C. $f’left( x right)={{3}^{x}}left( ln x+frac{ln 3}{x} right).$ D. $f’left( x right)={{3}^{x}}left( {{log }_{3}}x+frac{1}{xln 3} right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f’left( x right)={{3}^{x}}ln 3.lo{{g}_{3}}x+frac{{{3}^{x}}}{xln 3}={{3}^{x}}left( ln x+frac{1}{xln 3} right).$ Chọn A.

Ví dụ 16: Đạo hàm của hàm số $y={{log }_{sqrt{3}}}left| {{x}^{2}}-1 right|$ là:

A. $y’=frac{2x}{left( {{x}^{2}}-1 right)ln 3}.$ B. $y’=frac{4x}{left| {{x}^{2}}-1 right|ln 3}.$

C. $y’=frac{4x}{left( {{x}^{2}}-1 right)ln 3}.$ D. $y’=frac{2x}{left| {{x}^{2}}-1 right|ln sqrt{3}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y’=frac{2x}{left( {{x}^{2}}-1 right)ln sqrt{3}}=frac{2x}{left( {{x}^{2}}-1 right).frac{1}{2}ln 3}=frac{4x}{left( {{x}^{2}}-1 right)ln 3}.$ Chọn C.

Ví dụ 17: Cho hàm số $fleft( x right)=ln left( {{x}^{2}}-2x right).$ Tính đạo hàm của hàm số [y=frac{1}{{{f}^{2}}left( x right)}]

A. $y’=frac{2x-2}{{{left( {{x}^{2}}-2x right)}^{2}}}.$ B. $y’=frac{4-4x}{left( {{x}^{2}}-2x right){{ln }^{3}}left( {{x}^{2}}-2x right)}.$

C. $y’=frac{x-1}{2left( {{x}^{2}}-2x right)}.$ D. $y’=frac{-4x+4}{left( {{x}^{2}}-2x right){{ln }^{4}}left( {{x}^{2}}-2x right)}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y=frac{1}{{{f}^{2}}left( x right)}Rightarrow y’=frac{-{{left[ {{f}^{2}}left( x right) right]}^{prime }}}{{{f}^{4}}left( x right)}=-frac{2fleft( x right).f’left( x right)}{{{f}^{4}}left( x right)}=-frac{2f’left( x right)}{{{f}^{3}}left( x right)}$

Trong đó $f’left( x right)=frac{2x-2}{{{x}^{2}}-2x}Rightarrow y’=frac{4-4x}{left( {{x}^{2}}-2x right).{{ln }^{3}}left( {{x}^{2}}-2x right)}.$ Chọn B.