99 bài tập về 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ + lời giải – Edison Ecopark

Qua bài viết này Nhất Việt Edu xin chia sẻ với các bạn thông tin và kiến thức về Bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ hay nhất được tổng hợp bởi Nhất Việt Edu nhất được tổng hợp bởi Nhất Việt Edu

Video Bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những kiến thức có thể nói quan trọng nhất trong trương trình toán lớp 7 và các cấp về sau. Trong bài ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng biến đổi tương đương của chúng. Ngoài ra sẽ luyện tập áp dụng các hằng đẳng thức vào làm những dạng bài tập cơ bản.

1. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Cho hai biểu thức A và B. Từ hai biểu thức này, ta có thể lập ra 7 hằng đẳng thức như sau:

  • (A + B)² = A² + 2AB + B²
  • (A – B)² = A² – 2AB + B²

⇒ A² += (A-B)² – 2AB = (A+B)² – 2AB

  • (A + B)(A – B) = A² – B²
  • (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
  • (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3A²B³
  • (A + B)( A² – AB + B²) = A³ +B³
  • (A – B)( A² + AB + B²) = A³B³

2. Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Sử dụng 7 hằng đẳng thức Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng

  1. (2x + 1)²
  2. (2x + 3y)²
  3. (x + 1)(x – 1)
  4. m² – n²
  5. (5x + 3yz)²
  6. (yx – 3ab)²
  7. (x² + 3)(xˆ4 + 9 – 3x²)
  8. (9x + 3)²
  9. (xy + 2yz)²

Lời giải

  1. (2x+1)² = 4x²+ 4x +1
  2. (2x+3y)² = 4x² + 2.2x.3y + 9y² = 4x² + 12x.y + 9y²
  3. (x+1)(x-1) = x²-1
  4. m² – n² = (m – n)(m + n)
  5. (5x+3yz)² = 25x² + 2.5x.3yz + 9y²z² = 25x² + 30xyz + 9y²z²
  6. (yx – 3ab)² = y²z² – 2.yx.3ab + 9a²b²
  7. (x²+3)(xˆ4 + 9 – 3x²) = (x²)² + 3³ = x]xˆ4+27
  8. (9x+3)² = 81x² + 54x + 9
  9. (xy+2yz)² =x²y² + 2.xy.2yz + 4y²z² = x²y² +4xy² z + 4y² z²

Bài tập 2: Sử Dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và rút gọn biểu thức sau:

  1. A=(x+y)² – (x-y)²

*Cách 1: Khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

A = (x+y)² – (x-y)² = x² + 2xy + y² – (x² – 2xy + y²) = 4xy

*Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức A²-B = (A + B)(A – B)

A=(x+y)² – (x-y)² = (x+y+x-y)(x+y-x+y) = 2x.2y = 4xy

  1. B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)²

*Cách 1: Khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = x² + 2xy + y² – 2x² + 2y² + x² – 2xy + y² = 4y²

*Cách 2:

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = (x + y – x + y)² = (2y)² = 4y²

Bài tập 3: Tính nhanh các biểu thức sau

  1. 153² + 94.153 + 47²
  2. 126² – 126.152 + 5776

Lời giải:

  1. 153² + 94.153 + 47² = 153² + 2.47.153 + 47² = (153+47)² = 200² = 40000
  2. 126² – 126.152 + 5776 = 126² – 2.126.76 + 76² = (126-76)² = 50²

3. Các dạng biến đổi cần lưu ý

  • Chú ý phép tính toán, nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, triển khai hằng đẳng thức. Các bài toán yêu cầu viết lại biểu thức. (Cần lưu ý các quy tắc về nhân đơn đa thức và học thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Chú ý về dấu của số hạng và dấu của các phép toán.
  • Có thể vận dụng các tính chất về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để tìm ra
    • Bài tập về tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Chúng ta thực hiện bước đầu tiên là biến đổi biểu thức yêu cầu về dạng M = A² + B trong đó A là một biểu thức chứa biến và B là một số hoặc một biểu thức số độc lập. Theo tính chất về bình phương của mọi số thực luôn không âm nên luôn luôn có A² ≥ 0 với mọi giá trị của biến số, do đó A² + B ≥ B nên biểu thức có giá trị nhỏ nhất bằng B. Dấu = xảy ra khi A = 0.
    • Bài tập về tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức. Biến đổi biểu thức yêu cầu về dạng M = -A² + B trong đó A là một biểu thức chứa biến và B là một số hoặc một biểu thức số độc lập. Theo tính chất về bình phương của mọi số thực luôn không âm nên luôn luôn có A² ≥ 0 với mọi giá trị của biến số, do đó -A² + B ≤ B nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng B. Dấu = xảy ra khi A=0.

Chú ý: Dựa vào 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trên ta còn có thể biến đổi và suy ra các đẳng thức tương đương như sau:

Từ hằng đẳng thức 1); 2); 3) ta có thể mở rộng thêm các đẳng thức sau:

Câu 1: Tính:

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

Xem thêm: PMG là gì? Tiền PMG trên facebook là gì? – Máy bơm rửa xe đa năng

Lời giải:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

Câu 2: Tính:

a, (x – 1)2

b, (3 – y)2

c, (x – 1/2)2

Xem thêm: PMG là gì? Tiền PMG trên facebook là gì? – Máy bơm rửa xe đa năng

Lời giải:

a, (x – 1)2 = x2 -2x + 1

b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Câu 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a, x2 + 6x + 9

b, x2 + x + 1/4

c,2xy2 + x2y4 + 1

Xem thêm: PMG là gì? Tiền PMG trên facebook là gì? – Máy bơm rửa xe đa năng

Lời giải:

a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2

c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

Câu 4: Rút gọn biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Xem thêm: PMG là gì? Tiền PMG trên facebook là gì? – Máy bơm rửa xe đa năng

Lời giải:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2×2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4×2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2

Câu 5: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.

Xem thêm: PMG là gì? Tiền PMG trên facebook là gì? – Máy bơm rửa xe đa năng

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a2 = (5k + 4)2

= 25k2 + 40k + 16

= 25k2 + 40k + 15 + 1

= 5(5k2 + 8k +3) +1

Xem thêm: Tò he – đồ chơi đậm nét văn hóa dân gian – Báo Lao Động Thủ đô

Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1.

Câu 6: Tính giá trị của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b, x3 – 3×2 + 3x – 1 tại x = 101

c, x3 + 9×2+ 27x + 27 tại x = 97

Xem thêm: PMG là gì? Tiền PMG trên facebook là gì? – Máy bơm rửa xe đa năng

Lời giải:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

b, Thay x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

c, Ta có: x3 + 9×2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Câu 7: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Xem thêm: PMG là gì? Tiền PMG trên facebook là gì? – Máy bơm rửa xe đa năng

Lời giải:

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b, Ta có: (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]

= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

c, Ta có: (ac + bd)2 + (ad – bc)2

= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2

= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2)

= (a2 + b2)(c2 + d2)

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Câu 8: Chứng tỏ rằng:

Xem thêm: Lớp 6,7,8,9 có bao nhiêu môn học? – Luật Hoàng Phi

a, x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x

b, 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x

Xem thêm: PMG là gì? Tiền PMG trên facebook là gì? – Máy bơm rửa xe đa năng

Lời giải:

a, Ta có: x2 – 6x + 10 = x2 – 2.x.3 + 9 + 1 = (x – 3)2 + 1

Vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)2 + 1 > 0 mọi x

Vậy x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x.

b, Ta có: 4x – x2 – 5 = -(x2 – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)2 -1

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: -(x – 2)2 -1 ≤ 0 với mọi x

Vậy 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x.

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

a, P = x2 – 2x + 5

b, Q = 2×2 – 6x

c, M = x2 + y2 – x + 6y + 10

Xem thêm: PMG là gì? Tiền PMG trên facebook là gì? – Máy bơm rửa xe đa năng

Lời giải:

a, Ta có: P = x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 4 ≥ 4

Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất ⇒ (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1

Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.

b, Ta có: Q = 2×2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2(x2 – 2.3/2 x + 9/4 – 9/4 )

= 2[(x – 2/3 ) – 9/4 ] = 2(x – 2/3 )2 – 9/2

Vì (x – 2/3 )2 ≥ 0 nên 2(x – 2/3 )2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 2/3 )2 – 9/2 ≥ – 9/2

Suy ra: Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất ⇒ (x – 2/3 )2 = 0 ⇒ x = 2/3

Vậy Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 2/3 .

c, Ta có: M = x2 + y2 – x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 – x + 1)

= (y + 3)2 + (x2 – 2.1/2 x + 1/4 + 3/4) = (y + 3)2 + (x – 1/2)2 + 3/4

Vì (y + 3)2 ≥ 0 và (x – 1/2)2 ≥ 0 nên (y + 3)2 + (x – 1/2)2 ≥ 0

⇒ (y + 3)2 + (x – 12)2 + 3/4 ≥ 3/4

⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)2 =0

⇒ y = -3 và (x – 1/2)2 = 0 ⇒ x = 1/2

Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2

***Quan trọng: Vì bài toán liên quan đến 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là dạng bài toán quan trọng, nên ta phải học thuộc lòng 7 hằng đẳng thức được nhắc tới như thuộc bảng cửu chương. Học thuộc trước khi làm bài sẽ giúp chúng ta nhận diện dạng bài toán nhanh hơn và áp dụng đúng công thức để ra kết quả chính xác nhất. Chúc các bạn đạt điểm cao trong các bài toán liên quan đến hằng đẳng thức.

Bản quyền nội dung thuộc Nhất Việt Edu

Bài viết liên quan

Kỷ lục giữ sạch lưới cho Argentina của Emiliano Martinez
[Ngữ văn 8] Nói giảm nói tránh là gì? Khi nào nên nói giảm nói tránh
[Ngữ văn 8] Nói giảm nói tránh là gì? Khi nào nên nói giảm nói tránh
Cris Phan là ai? Tiểu sử, sự nghiệp, tình cảm của Cris Devil Gamer
Cris Phan là ai? Tiểu sử, sự nghiệp, tình cảm của Cris Devil Gamer
Đề thi GDCD 7 học kì 1 Kết nối tri thức năm học 2022 – 2023
Đề thi GDCD 7 học kì 1 Kết nối tri thức năm học 2022 – 2023
Vùng biển đông tiếp giáp với bao nhiêu quốc gia? – Luật ACC
Vùng biển đông tiếp giáp với bao nhiêu quốc gia? – Luật ACC
MTR là gì trên TikTok? Định nghĩa chính xác về MTR – Macstore
MTR là gì trên TikTok? Định nghĩa chính xác về MTR – Macstore
Ở đây đã có anh chị nào đọc cuốn sách “Không gục ngã” của nhà
Ở đây đã có anh chị nào đọc cuốn sách “Không gục ngã” của nhà
Thần thoại Nữ Oa Thị – Lịch sử Trung Quốc | Biên Niên Sử
Thần thoại Nữ Oa Thị – Lịch sử Trung Quốc | Biên Niên Sử