Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả chi tiết nhất | Toán lớp 10

Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả chi tiết nhất – Toán lớp 10

I. Lí thuyết tổng hợp.

– Định lí: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.

ab≤a+b2∀a,b≥0

Đẳng thức ab=a+b2 xảy ra khi và chỉ khi a = b.

– Các hệ quả:

+ Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

a+1a≥2,∀a>0

+ Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích (xy) lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

+ Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng (x + y) nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

II. Các công thức.

Xem thêm: Trực tâm là gì? Tính chất, cách xác định trực tâm trong tam giác

∀x,y>0 , nếu (x+y) không đổi thì (x.y)max⇔x=y.

∀x,y>0 , nếu (x.y) không đổi thì (x+y)min⇔x=y.

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho a, b là số dương thỏa mãn a2+b2=2. Chứng minh rằng: ab+baab2+ba2≥4.

Lời giải:

Khi a, b là số dương ⇒ab>0, ba>0, ab2>0,ba2>0

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

Mặt khác ta có:

2=a2+b2≥2a2b2=2ab

⇒ab≤1 (2)

Từ (1) và (2) ta có: ab+baab2+ba2≥4 (điều cần phải chứng minh)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

Bài 2: Cho a, b, c, d là số dương. Chứng minh rằng: ab3+bc3+cd3+da3a+bc+d≥16.

Lời giải:

Xem thêm: Mối tình thâm sâu, thủy chung hiếm có trong thời loạn giữa … – CafeBiz

Vì a, b, c, d là số dương nên ta có: ab3>0, bc3>0, cd3>0,da3>0

Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:

Lại có, do a, b, c, d dương nên:

(điều cần phải chứng minh).

Bài 3: Cho hai số dương c, d. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức trong các trường hợp sau:

a) c + d = 6 luôn không đổi, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (c + d).cd ;

b) c.d = 5 luôn không đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=c+dc2d2.

Lời giải:

a)

Ta có: A = (c + d).cd = 6cd vì (c + d) = 6 luôn không đổi.

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có:

Xem thêm: Đề thi Vật Lí 10 Giữa kì 2 năm 2022 – 2023 có đáp án (20 đề)

Vậy giá trị lớn nhất của A là 54 khi c = d = 3.

b)

Ta có: B=c+dc2d2=c+d52=c+d25 vì c.d = 5 luôn không đổi.

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2525 khi c = d = 5.

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a2+b2+c2=3. Chứng minh rằng: a2b+b2c+c2a≤3.

Bài 2: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng abc+bca+acb.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 đầy đủ, chi tiết

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

Dấu của nhị thức bậc nhất chi tiết nhất

Công thức giải bất phương trình một ẩn chi tiết nhất

Công thức giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất