Cách Xác định Vectơ Pháp Tuyến Của Mặt Phẳng Dựa Vào Tích Có

Dưới đây là danh sách Cách tìm vecto pháp tuyến hay nhất và đầy đủ nhất

Cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng

GiaiToan8.com giới thiệu tới các em cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng, thông qua tài liệu này, hi vọng các em sẽ hiểu hơn về lý thuyết cũng như cách áp dụng vào các bài tập trong sách giáo khoa cũng như thầy, cô giao.

Ghi chú: Để mua “Tài liệu, Đáp án”, bạn chuyển khoản về TK MoMo hoặc NH TPBank: 0363072023 kèm “nội dung yêu cầu”. Giaitoan8.com sẽ check và gửi file qua Zalo, Messenger hoặc Gmail.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chúng ta sẽ được học trong chương trình Hình học 12, chi tiết hơn là ở chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz. Có nhiều dạng toán xung quanh Vectơ pháp tuyến này, nhưng chủ yếu vẫn là bài toán viết phương trình đường thẳng.

Cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng.

A. Kiến thức cần ghi nhớ.

Ghi nhớ 1.

Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt và không thẳng hàng cho trước. Lúc đó, mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = [overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].$

Ghi nhớ 2.

Cho hai vectơ $vec a$ và $vec b$ không cùng phương cho trước.Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}{vec c bot vec a}\{vec c bot vec b}end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn $vec c = [vec a,vec b].$

Ghi nhớ 3.

Hai mặt phẳng $(alpha )$, $(beta )$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha }$ và ${vec n_beta }.$$(alpha )//(beta )$ $ Rightarrow {vec n_alpha }$ và ${vec n_beta }$ cùng phương.$(alpha ) bot (beta )$ $ Leftrightarrow {vec n_alpha } bot {vec n_beta }.$

B. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua ba điểm $A(1;1;2)$, $B(2;1;1)$ và $C(0;-1;3).$

A. $(P):x+y+z-4=0.$

B. $(P):x+2y+z-5=0.$

C. $(P):x+z-2=0.$

D. $(P):x+z-3=0.$

Xem thêm: Bài 37 trang 94 Toán 9 Tập 1 – VietJack.com

Lời giải

Ta có $overrightarrow {AB} = (1;0; – 1)$, $overrightarrow {AC} = ( – 1; – 2;1).$

Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;1;2)$ và có một vectơ pháp tuyến là $vec n = [overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ]$ $ = ( – 2;0; – 2)$, có phương trình $(P): – 2(x – 1) + 0(y – 1) – 2(z – 2) = 0$ $ Leftrightarrow x + z – 3 = 0.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 2

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(MNP)$ biết $M(1;0;1)$, $N(2;1;-1)$ và $P(0;1;2).$

A. $2x+z-3=0.$

B. $x+y+z-2=0.$

C. $3x + y + 2z-5=0.$

D. $3x +y +2z-1=0.$

Xem thêm: Bài 37 trang 94 Toán 9 Tập 1 – VietJack.com

Lời giải

Ta có $overrightarrow {MN} = (1;1; – 2)$, $overrightarrow {MP} = ( – 1;1;1).$

Mặt phẳng $(MNP)$ qua $M(1;0;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là $vec n = [overrightarrow {MN} ,overrightarrow {MP} ] = (3;1;2)$ có phương trình:

$(MNP):3(x – 1) + 1(y – 0) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow 3x + y + 2z – 5 = 0.$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;0;1)$ và hai mặt phẳng $(P):x+y-2z=0$, $(Q):-x+y+z+5=0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(alpha )$ qua $A$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$

A. $x+ 2z-3=0.$

B. $2x+y – 2z-1=0.$

C. $3x + y + 2z – 4=0.$

D. $3x + y + 2z-5=0.$

Xem thêm: Bài 37 trang 94 Toán 9 Tập 1 – VietJack.com

Lời giải

Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (1;1; – 2).$

Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_Q} = ( – 1;1;1).$

Gọi ${vec n_alpha }$ là một vectơ pháp tuyến của $(alpha ).$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}

{{{vec n}_alpha } bot {{vec n}_p}}\

{{{vec n}_alpha } bot {{vec n}_Q}}

end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_alpha } = left[ {{{vec n}_P},{{vec n}_Q}} right] = (3;1;2).$

Mặt phẳng $(alpha )$ qua $A(1;0;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha } = (3;1;2)$, có phương trình $(alpha ):3(x – 1) + 1(y – 0) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow 3x + y + 2z – 5 = 0.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 4

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $H(1;1;2)$ và hai mặt phẳng $(P):x-z+1=0$, $(Q):-x-2y+z+1=0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(alpha )$ qua $H$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$

A. $x + 2z – 3=0.$

B. $x+z-3=0.$

C. $x + z + 3 = 0.$

D. $3x + y + 2z – 5 = 0.$

Xem thêm: Bài 37 trang 94 Toán 9 Tập 1 – VietJack.com

Lời giải

Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_p} = (1;0; – 1).$

Xem thêm: Cách luyện viết chữ hoa sáng tạo độc đáo ít đụng hàng nhất

Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_Q} = ( – 1; – 2;1).$

Gọi ${vec n_alpha }$ là một vectơ pháp tuyến của $(alpha ).$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}

{{{vec n}_alpha } bot {{vec n}_P}}\

{{{vec n}_alpha } bot {{vec n}_Q}}

end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_alpha } = left[ {{{vec n}_P},{{vec n}_Q}} right] = ( – 2;0; – 2).$

Mặt phẳng $(alpha )$ qua $H(1;1;2)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha } = ( – 2;0; – 2)$ có phương trình $(alpha ): – 2(x – 1) + 0(y – 1) – 2(z – 2) = 0$ $ Leftrightarrow x + z – 3 = 0.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 5

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;3;2)$, $B( – 1;1;0)$ và mặt phẳng $(alpha ):x – 4y – z + 10 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(alpha ).$

A. $x + 2z – 3 = 0.$

B. $3x + 2y – 5z + 1 = 0.$

C. $3x + 2y – 5z – 2 = 0.$

D. $3x + y + 2z – 5 = 0.$

Xem thêm: Bài 37 trang 94 Toán 9 Tập 1 – VietJack.com

Lời giải

Mặt phẳng $(alpha )$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha } = (1; – 4; – 1)$ và $overrightarrow {AB} = ( – 2; – 2; – 2).$

Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$

Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}

{{{vec n}_P} bot {{vec n}_alpha }}\

{{{vec n}_P} bot overrightarrow {AB} }

end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = left[ {{{vec n}_alpha },overrightarrow {AB} } right] = (6;4; – 10).$

Mặt phẳng $(P)$ qua $B(-1;1;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (6;4; – 10)$, có phương trình:

$(P):6(x + 1) + 4(y – 1) – 10(z – 0) = 0$ $ Leftrightarrow 3x + 2y – 5z + 1 = 0.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 6

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;2;1)$, $B( – 1;4; – 1)$ và song song với trục $Ox.$

A. $x + 2y + z – 8 = 0.$

B. $y + z – 5 = 0.$

C. $y + z – 3 = 0.$

D. $3x + y + z – 1 = 0.$

Xem thêm: Bài 37 trang 94 Toán 9 Tập 1 – VietJack.com

Lời giải

Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$

Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}

{{{vec n}_P} bot vec i = (1;0;0)}\

{{{vec n}_P} bot overrightarrow {AB} = ( – 2;2; – 2)}

end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = [vec i,overrightarrow {AB} ] = (0;2;2).$

Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (0;2;2)$ có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow y + z – 3 = 0$ (thỏa do $O notin (P)$).

Chọn đáp án C.

Ví dụ 7

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;2;1)$, $B(-1;4;-1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz).$

A. $x + 2y + z – 8 = 0.$

B. $y + z – 4 = 0.$

C. $y + z – 3 = 0.$

D. $x + y + z – 4 = 0.$

Xem thêm: Bài 37 trang 94 Toán 9 Tập 1 – VietJack.com

Lời giải

Mặt phẳng $(Oyz):$ $x = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = (1;0;0)$ và $overrightarrow {AB} = ( – 2;2; – 2).$

Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$

Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}

{{{vec n}_P} bot vec n}\

{{{vec n}_P} bot overrightarrow {AB} }

end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = [vec n,overrightarrow {AB} ] = (0;2;2).$

Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (0;2;2)$, có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow y + z – 3 = 0.$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 8

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M(1;2;3)$, $N(-1;1;5)$ và song song với trục $Oz.$

A. $x + z – 4 = 0.$

B. $x – 2y + 3 = 0.$

C. $x – 2y + 5 = 0.$

D. $x + 2z – 7 = 0.$

Xem thêm: Bài 37 trang 94 Toán 9 Tập 1 – VietJack.com

Lời giải

Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$

Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}

{{{vec n}_P} bot vec k = (0;0;1)}\

{{{vec n}_P} bot overrightarrow {MN} = ( – 2; – 1;2)}

end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_p} = [vec k,overrightarrow {MN} ] = (1; – 2;0).$

Mặt phẳng $(P)$ qua $M(1;2;3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (1; – 2;0)$, có phương trình $(P):1(x – 1) – 2(y – 2) + 0(z – 3) = 0$ $ Leftrightarrow x – 2y + 3 = 0$ (thỏa do $O notin (P)$).

Chọn đáp án B.

Ví dụ 9

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M(1;2;3)$, $N(-1;1;5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy).$

A. $x + z – 4 = 0.$

B. $x + 2z – 7 = 0.$

C. $x – 2y + 5 = 0.$

D. $x – 2y + 3 = 0.$

Xem thêm: Bài 37 trang 94 Toán 9 Tập 1 – VietJack.com

Lời giải

Mặt phẳng $(Oxy):$ $z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = (0;0;1)$ và $overrightarrow {MN} = ( – 2; – 1;2).$

Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$

Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}

{{{vec n}_P} bot vec n}\

{{{vec n}_P} bot overrightarrow {MN} }

end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = [vec n,overrightarrow {MN} ] = (1; – 2;0).$

Mặt phẳng $(P)$ qua $M(1;2;3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (1; – 2;0)$, có phương trình $(P):1(x – 1) – 2(y – 2) + 0(z – 3) = 0$ $ Leftrightarrow x – 2y + 3 = 0.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 10

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;2;1)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ): – 2x + 2y – 2z + 1 = 0$ và song song với trục $Ox.$

A. $x + 2y + z – 8 = 0.$

B. $y + z – 3 = 0.$

C. $y + z – 1 = 0.$

D. $3x + y + z – 1 = 0.$

Xem thêm: Bài 37 trang 94 Toán 9 Tập 1 – VietJack.com

Lời giải

Mặt phẳng $(alpha )$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = ( – 2;2; – 2).$

Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$

Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}

{{{vec n}_P} bot vec i = (1;0;0)}\

{{{vec n}_P} bot vec n}

end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${{{vec n}_P} = [vec i,vec n] = (0;2;2)}.$

Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (0;2;2)$, có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow y + z – 3 = 0$ (thỏa do $O notin (P)$).

Chọn đáp án B.

Ví dụ 11

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;2;3)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ): – 2x + 2y – 2z + 1 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz).$

A. $x+2y +z-8=0.$

B. $y +z-5=0.$

C. $y +z-1=0.$

D. $3x+y+z-1=0.$

Xem thêm: Bài 37 trang 94 Toán 9 Tập 1 – VietJack.com

Lời giải

Mặt phẳng $(Oyz):x = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = (1;0;0).$

Mặt phẳng $(alpha )$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha } = ( – 2;2; – 2).$

Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$

Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}

{{{vec n}_P} bot vec n}\

{{{vec n}_P} bot {{vec n}_alpha }}

end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = left[ {vec n,{{vec n}_alpha }} right] = (0;2;2).$

Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (0;2;2)$, có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 3) = 0$ $ Leftrightarrow y + z – 5 = 0$ (thỏa do $O notin (P)$).

Chọn đáp án B.

C. Bài tập tự giải.

A. $x + 2z – 3 = 0.$

B. $2x + y – 2z – 1 = 0.$

Xem thêm: KOH + SO2 → KHSO3 | Cân Bằng Phương Trình Hóa Học

C. $3x + 2y – 5z + 4 = 0.$

D. $3x + 2y – 5z + 1 = 0.$

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $K(-1;1;0)$ và hai mặt phẳng $(alpha ):x – 4y – z = 0$, $(beta ): – 2x – 2y – 2z + 1 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $K$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(alpha )$ và $(beta ).$

A. $x – 2y + 3 = 0.$

B. $3x + 2y – 5z + 1 = 0.$

C. $3x + 2y – 5z – 2 = 0.$

D. $3x + y + 2z – 5 = 0.$

Câu 3

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;2)$, $B(2;1;1)$ và mặt phẳng $(alpha ): – x – 2y + z + 9 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(alpha ).$

A. $(P):x + y + z – 4 = 0.$

B. $(P):x + z – 3 = 0.$

C. $(P):x + z – 2 = 0.$

D. $(P):x + 2y + z – 5 = 0.$

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;0;2)$, $B(3;-1;1)$ và song song với trục $Oy.$

A. $x+ 2z-3=0.$

B. $y +z-5=0.$

C. $y +z-1=0.$

D. $x + 2z – 5 = 0.$

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;0;2)$, $B(3;-1;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxz).$

A. $x + 2z-3=0.$

B. $y +z-5=0.$

C. $y +z-1=0.$

D. $x + 2z-5=0.$

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;0;2)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ):2x – y – z + 7 = 0$ và song song với trục $Oy.$

A. $x + 2z – 3=0.$

B. $y + z-5=0.$

C. $y +z-1=0.$

D. $x+2z -5=0.$

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;0;2)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ):2x – y – z + 7 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxz).$

A. $x + 2z-3=0.$

B. $y +z-5=0.$

C. $y +z-1=0.$

D. $x + 2z-5=0.$

Câu 8

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(-1;1;5)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ): – 2x – y + 2z + 11 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy).$

A. $x+z-4=0.$

B. $x + 2z – 7 = 0.$

C. $x-2y+5=0.$

D. $x – 2y +3=0.$

Câu 9

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(-1;1;5)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ): – 2x – y + 2z + 11 = 0$ và song song với trục $Oz.$

A. $x+z-4=0.$

B. $x + 2z-7 =0.$

C. $x – 2y +5=0.$

D. $x – 2y +3=0.$

Câu 10

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;0;1)$, $N(2;1;-1)$ và mặt phẳng $(alpha ): – x + y + z + 5 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M$, $N$ và vuông góc với mặt phẳng $(alpha ).$

A. $2x+z-3=0.$

B. $x+y+z-2=0.$

C. $3x + y + 2z -5=0.$

D. $3x +y + 2z-1=0.$

Câu12345Đáp ánDBBDDCâu678910Đáp ánDDDDC

Để ôn tập tốt cho kỳ thi THPT Quốc Gia 2020 sắp tới, các em củng cố thêm kiến thức về Trắc nghiệm Lũy thừa, mũ và logarit thi THPTQG môn Toán ở đây

Ghi chú: Nếu tài liệu hữu ích, bạn hãy ủng hộ Giaitoan8.com để gây phí duy trì trang web, bằng cách chuyển khoản qua tk MoMo hoặc NH TPbank: 0363072023 hoặc quét mã QR MoMo dưới đây nhé.Cảm ơn các bạn rất nhiều!

  • xac dinh vecto phap tuyen
  • tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng abc
  • vecto pháp tuyến của mặt phẳng oxy trong không gian

Bản quyền nội dung thuộc Nhất Việt Edu

Bài viết liên quan

Kỷ lục giữ sạch lưới cho Argentina của Emiliano Martinez
[Ngữ văn 8] Nói giảm nói tránh là gì? Khi nào nên nói giảm nói tránh
[Ngữ văn 8] Nói giảm nói tránh là gì? Khi nào nên nói giảm nói tránh
Cris Phan là ai? Tiểu sử, sự nghiệp, tình cảm của Cris Devil Gamer
Cris Phan là ai? Tiểu sử, sự nghiệp, tình cảm của Cris Devil Gamer
Đề thi GDCD 7 học kì 1 Kết nối tri thức năm học 2022 – 2023
Đề thi GDCD 7 học kì 1 Kết nối tri thức năm học 2022 – 2023
Vùng biển đông tiếp giáp với bao nhiêu quốc gia? – Luật ACC
Vùng biển đông tiếp giáp với bao nhiêu quốc gia? – Luật ACC
MTR là gì trên TikTok? Định nghĩa chính xác về MTR – Macstore
MTR là gì trên TikTok? Định nghĩa chính xác về MTR – Macstore
Ở đây đã có anh chị nào đọc cuốn sách “Không gục ngã” của nhà
Ở đây đã có anh chị nào đọc cuốn sách “Không gục ngã” của nhà
Thần thoại Nữ Oa Thị – Lịch sử Trung Quốc | Biên Niên Sử
Thần thoại Nữ Oa Thị – Lịch sử Trung Quốc | Biên Niên Sử