Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình – Kiến Guru

Dưới đây là danh sách định lý vi ét hay nhất và đầy đủ nhất

Định lý Viet là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán Trung học cơ sở. Đây là chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh lớp 10. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin giới thiệu đến bạn đọc một số ứng dụng quan trọng của định lý này. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết, vừa đưa ra các ví dụ rõ ràng, chi tiết giúp các bạn nắm vững và ứng dụng thành thục các hệ thức Viet vào việc chinh phục các bài toán. Cùng khám phá nhé:

I. Định lý Viet – Lý thuyết quan trọng.

Định lý Viet hay hệ thức Viet thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức do nhà toán học Pháp François Viète khám phá ra.

1. Định lý Viet thuận.

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau:

image kix laniio7fbbwu

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:

  • Nếu a+b+c=0 thì (*) có 1 nghiệm x1=1 và x2=c/a
  • Nếu a-b+c=0 thì (*) có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a

2. Định lý Viet đảo.

Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

image kix 64p59vmaij55

thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1).

Chú ý: điều kiện S2-4P≥0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆(1)≥0 hay nói cách khác, đây là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm.

Để nắm vững những công thức toán và cách áp dụng vào môn Toán một cách dễ dàng đạt điểm 8+. Bạn hãy bấm vào tìm hiểu ngay khóa học: Bứt Phá Điểm 8+ Môn Toán Lớp 10. Đồng hành cùng bạn là Thầy Mạnh có hơn 6 năm kinh nghiệm giảng dạy và Ôn thi Đại Học. Đặc biệt, nhà Kiến gửi tặng bạn ƯU ĐÃI 73% HỌC PHÍ khi đăng ký trong hôm nay!

II. Các dạng bài tập ứng dụng định lý Viet.

1. Ứng dụng hệ thức Viet tìm hai số khi biết tổng và tích.

Phương pháp:

Nếu 2 số u và v thỏa mãn:

image kix ep21zyssyche

thì u, v sẽ là 2 nghiệm của phương trình: x2-Sx+P=0.

Như vậy, việc xác định hai số u, v sẽ quay về bài toán giải phương trình bậc 2 một ẩn:

  • Nếu S2-4P≥0 thì tồn tại u,v.
  • Nếu S2-4P<0 thì không tồn tại số nào thỏa mãn.

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi 6a, diện tích là 2a2. Hãy tìm độ dài 2 cạnh.

Xem thêm: Giải vở bài tập Toán lớp 5 tập 2 trang 53, 54 đầy đủ – Tailieu.com

Hướng dẫn:

Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề ta có:

image kix 63fvc22k9i10

Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2-3ax+2a2=0.

Giải phương trình trên được x1=2a, x2=a (do x1>x2)

Vậy hình chữ nhật có chiều dài 2a, chiều rộng là a.

Ví dụ 2: Tìm hai số x1, x2 thỏa mãn (x1>x2)

image kix nlb7q37l9qly

Xem thêm: Giải vở bài tập Toán lớp 5 tập 2 trang 53, 54 đầy đủ – Tailieu.com

Hướng dẫn:

Ta cần biến đổi hệ đã cho về dạng tổng tích quen thuộc:

image kix 2rv6nt4umsw0

  • Trường hợp 1:

image kix

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2-5x+6=0. Giải tìm được x1=3, x2=2

  • Trường hợp 2:

image kix gj776nyokfa

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2+5x+6=0. Giải tìm được x1=-2, x2=-3.

Ví dụ 3: Giải phương trình:

image kix 3t5h4uhfsq2m

Xem thêm: Giải vở bài tập Toán lớp 5 tập 2 trang 53, 54 đầy đủ – Tailieu.com

Hướng dẫn:

Điều kiện: x≠-1

Để ý, nếu quy đồng mẫu, ta sẽ được một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của phương trình này khá lớn. Rất khó để tìm ra định hướng khi ở dạng này.

Vì vậy, ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để bài toán đơn giản hơn.

Ta đặt:

image kix

Khi đó theo đề: uv=6.

Ta lại có:

image kix dic3i4spsn4y

Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc 2: t2-5t+6=0.

Giải phương trình trên được:

image kix

  • Trường hợp 1: u=3, v=2. Khi đó ta thu được phương trình: x2-2x+3=0 (vô nghiệm)
  • Trường hợp 2: u=2, v=3. Khi đó ta thu được phương trình x2-3x+2=0, suy ra x1=1, x2=2 (thỏa mãn điều kiện x≠-1)

2. Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức đối xứng.

Phương pháp:

Biểu thức đối xứng với x1, x2 nếu ta đổi chỗ x1, x2 cho nhau thì giá trị biểu thức không thay đổi:

image kix

  • Nếu f là một biểu thức đối xứng, nó luôn tồn tại cách biểu diễn qua biểu thức đối xứng S=x1+x2, P=x1x2
  • Một số biểu diễn quen thuộc:
  • Áp dụng hệ thức Viet, ta tính được giá trị biểu thức cần tìm.

Xem thêm: Từ Điển Phương Trình Hóa Học Hóa Vô Cơ 11 Đầy Đủ – Kiến Guru

Ví dụ 4: Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) tồn tại 2 nghiệm x1, x2. Gọi:

image kix u6luyjpt2yfv

Hãy chứng minh:

image kix wy9jb0l2aw3s

Xem thêm: Giải vở bài tập Toán lớp 5 tập 2 trang 53, 54 đầy đủ – Tailieu.com

Hướng dẫn:

dinh-ly-Viet-02

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+5x+2=0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của:

Xem thêm: Giải vở bài tập Toán lớp 5 tập 2 trang 53, 54 đầy đủ – Tailieu.com

Hướng dẫn:

Cách 1:

Ta biến đổi:

image kix

Lại có:

dinh-ly-Viet-03

Thế vào ta tính được S.

Cách 2:

Ta có thể ứng dụng ví dụ 4 để tính trong trường hợp này, chú ý:

image kix 9i1a8y9p5tis

Ta có: S=S7.

Vậy ta tính lần lượt S1, S2,.., S6. Sau đó sẽ có được giá trị của S7.

3. Áp dụng định lý Viet vào các bài toán có tham số.

Đối với các bài toán tham số, điều kiện tiên quyết là phải xét trường hợp để phương trình tồn tại nghiệm. Sau đó áp dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai, ta sẽ có các hệ thức của hai nghiệm x1, x2 theo tham số, kết hợp với dữ kiện đề bài để tìm đáp án.

Ví dụ 5: Cho phương trình mx2-2(3-m)x+m-4=0 (*) (tham số m).

Hãy xác định giá trị của tham số để:

  1. Có đúng 1 nghiệm âm.
  2. Có 2 nghiệm trái dấu.

Xem thêm: Giải vở bài tập Toán lớp 5 tập 2 trang 53, 54 đầy đủ – Tailieu.com

Hướng dẫn:

Nhắc lại kiến thức:

Xem thêm: Tunisia là nước nào, ở đâu và thuộc châu nào? – Outdoorgear.vn

Đặc biệt, do ở hệ số a có chứa tham số, vì vậy ta cần xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: a=0⇔m=0

Khi đó (*)⇔-6x-4=0⇔x=-⅔. Đây là nghiệm âm duy nhất.

Trường hợp 2: a≠0⇔m≠0

Lúc này, điều kiện là:

dinh-ly-Viet-05

Ví dụ 6: Tìm tất cả giá trị m thỏa mãn phương trình bậc 2 sau:

image kix 74u92g9nogw0

tồn tại nghiệm x1, x2 phân biệt sao cho:

image kix twkipmvymbpd

Xem thêm: Giải vở bài tập Toán lớp 5 tập 2 trang 53, 54 đầy đủ – Tailieu.com

Hướng dẫn:

Điều kiện để phương trình tồn tại 2 nghiệm phân biệt:

image kix f00sug2uns7w

Khi đó dựa vào hệ thức Viet:

Hai nghiệm phân biệt này phải khác 0 (vì để thỏa mãn đẳng thức đề cho), suy ra:

image kix ghqlvt167wca (2)

Mặt khác, theo đề:

image kix

Trường hợp 1:

image kix w59fydtpezz

Trường hợp 2:

image kix k9012cfj9n20

Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2) suy ra m=1 hoặc m=5 thỏa yêu cầu bài toán.

Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về định lý Viet. Hy vọng thông qua bài viết, các bạn sẽ tự củng cố và rèn luyện thêm tư duy giải toán của bản thân. Mỗi bài toán sẽ có nhiều cách tiếp cận khác nhau, chính vì vậy, hãy tự do vận dụng một cách sáng tạo những gì bạn học được nhé, điều đó sẽ hỗ trợ cho các bạn sau này rất nhiều. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru để làm mới thêm lượng kiến thức của mình. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

Bản quyền nội dung thuộc Nhất Việt Edu

Bài viết liên quan

Kỷ lục giữ sạch lưới cho Argentina của Emiliano Martinez
[Ngữ văn 8] Nói giảm nói tránh là gì? Khi nào nên nói giảm nói tránh
[Ngữ văn 8] Nói giảm nói tránh là gì? Khi nào nên nói giảm nói tránh
Cris Phan là ai? Tiểu sử, sự nghiệp, tình cảm của Cris Devil Gamer
Cris Phan là ai? Tiểu sử, sự nghiệp, tình cảm của Cris Devil Gamer
Đề thi GDCD 7 học kì 1 Kết nối tri thức năm học 2022 – 2023
Đề thi GDCD 7 học kì 1 Kết nối tri thức năm học 2022 – 2023
Vùng biển đông tiếp giáp với bao nhiêu quốc gia? – Luật ACC
Vùng biển đông tiếp giáp với bao nhiêu quốc gia? – Luật ACC
MTR là gì trên TikTok? Định nghĩa chính xác về MTR – Macstore
MTR là gì trên TikTok? Định nghĩa chính xác về MTR – Macstore
Ở đây đã có anh chị nào đọc cuốn sách “Không gục ngã” của nhà
Ở đây đã có anh chị nào đọc cuốn sách “Không gục ngã” của nhà
Thần thoại Nữ Oa Thị – Lịch sử Trung Quốc | Biên Niên Sử
Thần thoại Nữ Oa Thị – Lịch sử Trung Quốc | Biên Niên Sử