Công thức tính góc giữa 2 vecto – Luật Hoàng Phi

Vecto là gì?

Trong toán học, vecto là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong hình học và đại số tuyến tính. Một vecto là một đại lượng có hướng và độ lớn, được biểu diễn bằng một mũi tên trong không gian hai chiều hoặc ba chiều.

Một vecto trong không gian hai chiều có thể được biểu diễn bởi hai số thực (x, y), trong đó x là hệ số của trục hoành và y là hệ số của trục tung. Một vecto trong không gian ba chiều có thể được biểu diễn bởi ba số thực (x, y, z).

Các phép toán với vecto bao gồm cộng, trừ, nhân với một số vô hướng, tích vô hướng và tích vector (hay tích có hướng).

Các ứng dụng của vecto trong toán học rất đa dạng, bao gồm các vấn đề trong hình học, cơ học, điện tử, vật lý, v.v. Vecto cũng được sử dụng rộng rãi trong các thuật toán và phương pháp tính toán như định hướng đạo hàm và phân tích thành phần chính.

Tính chất góc giữa hai vecto trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng, góc giữa hai vectơ được định nghĩa là góc được hình thành bởi hai đường thẳng mà chúng tạo thành khi xuất phát từ cùng một điểm.

Tính chất chính của góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng bao gồm:

– Góc giữa hai vectơ là góc được đo bằng đơn vị đo góc độ.

– Hai vectơ cùng phương (cùng hướng hoặc trái ngược hướng) có góc giữa bằng 0 độ.

– Hai vectơ vuông góc với nhau có góc giữa bằng 90 độ.

– Góc giữa hai vectơ có thể tính bằng công thức:

cos(theta) = (a . b) / (|a| * |b|)

trong đó a và b là hai vectơ, theta là góc giữa chúng, “.” là phép nhân vô hướng của hai vectơ, và “|” là ký hiệu độ lớn của vectơ. Từ công thức này, ta có thể tính được giá trị của cos(theta), rồi sử dụng hàm cos^-1 để tính được giá trị của theta.

– Góc giữa hai vectơ có thể là góc dương hoặc góc âm, tùy thuộc vào hướng quay của vectơ từ vectơ đầu tiên sang vectơ thứ hai. Góc giữa hai vectơ sẽ là góc âm nếu vectơ thứ hai xoay ngược chiều so với vectơ đầu tiên.

Công thức tính góc giữa 2 vecto

Công thức tính góc giữa 2 vectơ trong không gian 2 hoặc 3 chiều có thể được xác định bằng công thức:

cos(theta) = (a . b) / (|a| * |b|)

Trong đó a và b là 2 vectơ cần tính góc, “.” là phép nhân vô hướng của 2 vectơ, “|” là ký hiệu độ lớn của vectơ và theta là góc giữa hai vectơ.

Sau đó, ta có thể sử dụng hàm cos^-1 để tính góc giữa hai vectơ từ giá trị cos(theta).

Ví dụ:

Cho hai vectơ a = (1, 2) và b = (-2, 1) trong mặt phẳng. Để tính góc giữa hai vectơ này, ta sử dụng công thức:

cos(theta) = (a . b) / (|a| * |b|)

Đầu tiên, tính tích vô hướng của a và b:

a . b = 1*(-2) + 2*1 = -2 + 2 = 0

Sau đó, tính độ lớn của hai vectơ:

|a| = sqrt(1^2 + 2^2) = sqrt(5) |b| = sqrt((-2)^2 + 1^2) = sqrt(5)

Kết hợp các giá trị này vào công thức, ta có:

cos(theta) = 0 / (sqrt(5) * sqrt(5)) = 0

Do cos(theta) = 0, ta có thể kết luận rằng hai vectơ a và b vuông góc với nhau. Vậy góc giữa hai vectơ này là 90 độ.

Cách tính góc giữa 2 vecto

Xem thêm: 100 Đề thi Toán lớp 5 năm 2023 (có đáp án) – VietJack.com

Để tính góc giữa 2 vectơ a và b trong không gian n chiều, ta có thể làm theo các bước sau:

Bước 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ a và b:

a . b = a1b1 + a2b2 + … + anbn

Trong đó, a1, a2, …, an là các thành phần của vectơ a, và b1, b2, …, bn là các thành phần của vectơ b.

Bước 2: Tính độ lớn của vectơ a và vectơ b:

|a| = sqrt(a . a) = sqrt(a1^2 + a2^2 + … + an^2)

|b| = sqrt(b . b) = sqrt(b1^2 + b2^2 + … + bn^2)

Bước 3: Tính cosin của góc giữa hai vectơ:

cos(theta) = (a . b) / (|a| * |b|)

Trong đó, theta là góc giữa hai vectơ a và b.

Bước 4: Tính góc giữa hai vectơ:

theta = arccos(cos(theta))

Trong đó, arccos là hàm ngược của hàm cos.

Lưu ý: Khi sử dụng hàm arccos, kết quả trả về sẽ là góc tính bằng radian. Để chuyển đổi thành đơn vị đo góc thông thường (độ), ta cần nhân kết quả với 180/π.

Ví dụ:

Cho hai vectơ a = (3, 4, 0) và b = (0, 5, 6). Để tính góc giữa hai vectơ này, ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ a và b:

a . b = 30 + 45 + 0*6 = 20

Bước 2: Tính độ lớn của vectơ a và vectơ b:

|a| = sqrt(3^2 + 4^2 + 0^2) = 5

|b| = sqrt(0^2 + 5^2 + 6^2) = sqrt(61)

Bước 3: Tính cosin của góc giữa hai vectơ:

cos(theta) = (a . b) / (|a| * |b|) = 20 / (5 * sqrt(61)) = 0.651

Bước 4: Tính góc giữa hai vectơ:

theta = arccos(cos(theta)) = arccos(0.651) = 0.876 radian

Để chuyển đổi thành đơn vị đo góc thông thường, ta nhân kết quả với 180/π:

theta ≈ 50.26 độ

Vậy góc giữa hai vectơ a và b là khoảng 50.26 độ.

Bài tập tính góc giữa 2 vecto

Sau đây là một số bài tập tính góc giữa 2 vecto:

Xem thêm: 199+ Ảnh Gái Nhật Xinh Đẹp, Thùy Mị, Trong Sáng Như Sương Mai

Bài tập 1: Cho hai vectơ a = (1, 2, -1) và b = (3, -1, 4). Tính góc giữa hai vectơ này.

Giải:

– Tính tích vô hướng của hai vectơ a và b:

a . b = 13 + 2(-1) + (-1)*4 = 3 – 2 – 4 = -3

– Tính độ lớn của vectơ a và vectơ b:

|a| = sqrt(1^2 + 2^2 + (-1)^2) = sqrt(6)

|b| = sqrt(3^2 + (-1)^2 + 4^2) = sqrt(26)

– Tính cosin của góc giữa hai vectơ:

cos(theta) = (a . b) / (|a| * |b|) = (-3) / (sqrt(6) * sqrt(26)) ≈ -0.309

– Tính góc giữa hai vectơ:

theta = arccos(cos(theta)) = arccos(-0.309) ≈ 1.889 radian

Để chuyển đổi thành đơn vị đo góc thông thường, ta nhân kết quả với 180/π:

theta ≈ 108.33 độ

Vậy góc giữa hai vectơ a và b là khoảng 108.33 độ.

Bài tập 2: Cho hai vectơ a = (-1, 0, 2) và b = (2, 1, 3). Tính góc giữa hai vectơ này.

Giải:

– Tính tích vô hướng của hai vectơ a và b:

a . b = (-1)2 + 01 + 2*3 = -2 + 6 = 4

– Tính độ lớn của vectơ a và vectơ b:

|a| = sqrt((-1)^2 + 0^2 + 2^2) = sqrt(5)

|b| = sqrt(2^2 + 1^2 + 3^2) = sqrt(14)

– Tính cosin của góc giữa hai vectơ:

cos(theta) = (a . b) / (|a| * |b|) = 4 / (sqrt(5) * sqrt(14)) ≈ 0.555

– Tính góc giữa hai vectơ:

theta = arccos(cos(theta)) = arccos(0.555) ≈ 0.994 radian

Để chuyển đổi thành đơn vị đo góc thông thường, ta nhân kết quả với 180/π:

theta ≈ 57.08 độ

Vậy góc giữa hai vectơ a và b là khoảng 57.08 độ.

Xem thêm: Lực là gì vật lý 6? Đặc điểm và phương chiều của lực – Lagithe.info

Bài tập 3: Cho hai vectơ a = (-2, 3) và b = (4, 1). Tính góc giữa hai vectơ này.

Giải:

– Tính tích vô hướng của hai vectơ a và b:

a . b = (-2)4 + 31 = -8 + 3 = -5

– Tính độ lớn của vectơ a và vectơ b:

|a| = sqrt((-2)^2 + 3^2) = sqrt(13)

|b| = sqrt(4^2 + 1^2) = sqrt(17)

– Tính cosin của góc giữa hai vectơ:

cos(theta) = (a . b) / (|a| * |b|) = -5 / (sqrt(13) * sqrt(17)) ≈ -0.532

– Tính góc giữa hai vectơ:

theta = arccos(cos(theta)) = arccos(-0.532) ≈ 2.096 radian

Để chuyển đổi thành đơn vị đo góc thông thường, ta nhân kết quả với 180/π:

theta ≈ 120.42 độ

Vậy góc giữa hai vectơ a và b là khoảng 120.42 độ.

Bài tập 4: Cho hai vectơ a = (1, -1, 3) và b = (2, 1, -1). Tính góc giữa hai vectơ này.

Giải:

– Tính tích vô hướng của hai vectơ a và b:

a . b = 1*2 + (-1)1 + 3(-1) = 2 – 1 – 3 = -2

– Tính độ lớn của vectơ a và vectơ b:

|a| = sqrt(1^2 + (-1)^2 + 3^2) = sqrt(11)

|b| = sqrt(2^2 + 1^2 + (-1)^2) = sqrt(6)

– Tính cosin của góc giữa hai vectơ:

cos(theta) = (a . b) / (|a| * |b|) = -2 / (sqrt(11) * sqrt(6)) ≈ -0.375

– Tính góc giữa hai vectơ:

theta = arccos(cos(theta)) = arccos(-0.375) ≈ 1.946 radian

Để chuyển đổi thành đơn vị đo góc thông thường, ta nhân kết quả với 180/π:

theta ≈ 111.57 độ

Vậy góc giữa hai vectơ a và b là khoảng 111.57 độ.

Trên đây là một số thông tin liên quan đến Công thức tính góc giữa 2 vecto? Công thức tính điện trở suất tại chuyên mục Toán học?, Quý độc giả có thể tham khảo các bài viết khác liên quan tại website: luathoangphi.vn